DEG o RAD: perché sin(30) cambia risultato?

L’esercizio contiene un angolo di $30^{\circ }$. Ricordi che il suo seno è $\frac{1}{2}$, ma la calcolatrice restituisce un numero negativo, vicino a $-0,988$. Hai sbagliato il tasto, oppure il valore ricordato non era corretto?

Prima di rifare il calcolo, guarda l’unità angolare. Il numero $30$, da solo, non dice se stai usando gradi o radianti. In modalità DEG rappresenta $30^{\circ }$; in modalità RAD rappresenta $30$ radianti. Sono due angoli diversi e i loro seni sono diversi.

Le schermate in questo articolo mostrano il confronto in CalcES, sviluppato da MathDa, l’editore di questa rivista. Non è una particolarità di CalcES: il manuale italiano della Casio fx-991CW↗ chiede di specificare l’unità angolare prima dei calcoli trigonometrici.

Una nota sul nome: in italiano si scrive spesso sen x, mentre sulla tastiera della calcolatrice il tasto è sin. Nell’articolo usiamo la forma che compare sullo schermo.

Il confronto che isola il problema

Manteniamo invariato l’input $\sin (30)$ e cambiamo l’unità angolare, da DEG a RAD.

Con DEG, il numero 30 è interpretato in gradi: il seno è 1/2, cioè 0,5.

L’input non è cambiato. Sulla barra, RAD prende il posto di DEG: il numero 30 è ora letto in radianti. Compare anche DECI al posto di FRAC, ma è il formato del risultato, non l’unità.

Nella seconda schermata cambiano quindi due indicatori: l’unità angolare, che è ciò che stiamo confrontando, e il formato del risultato, da FRAC a DECI. Il secondo non altera il valore: il seno di $30$ radianti è un numero irrazionale e nessuna frazione lo rappresenta, quindi si legge in forma decimale.

La seconda risposta non è un errore della funzione seno. $30$ radianti corrispondono a poco più di quattro giri e tre quarti, perché $\frac{30}{2\pi }\approx 4,77$; dopo aver tolto quattro giri rimane un angolo di circa $4,87$ radianti, cioè circa $279^{\circ }$, nel quarto quadrante, dove il seno è negativo. È un controllo del segno che puoi fare senza conoscere tutte le cifre del risultato.

Questa è anche una buona ragione per diffidare di «a me viene un altro numero» senza vedere l’input e le impostazioni. Due persone possono aver digitato gli stessi caratteri e aver posto due domande matematiche diverse.

Il radiante ha un significato geometrico

In gradi, un giro completo è $360^{\circ }$. In radianti, lo stesso giro è $2\pi$.

Il radiante mette in relazione la lunghezza di un arco e il raggio della circonferenza: l’angolo in radianti è il rapporto fra queste due lunghezze. Se l’arco è lungo quanto il raggio, l’angolo misura un radiante. Per un giro completo, l’arco è la circonferenza $2\pi r$; dividendo per $r$ ottieni $2\pi$.

Da questa relazione segue la conversione:

$$\text{radianti}=\text{gradi}\times \frac{\pi }{180}.$$

Quindi $30^{\circ }=\frac{\pi }{6}$ radianti. Se hai convertito correttamente l’angolo, i due calcoli devono concordare:

$$\sin (30^{\circ })=\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}.$$

Cambiando anche il valore dell’angolo, 30° e π/6 radianti tornano a dare lo stesso seno.

Il passaggio da DEG a RAD non converte il numero che hai già scritto in un’altra unità: cambia il modo di interpretarlo. Questo è il punto che spesso viene saltato.

Quando usare DEG e quando usare RAD

Se il testo dà un angolo con il simbolo ${}^{\circ }$, mantenere i gradi è in genere la scelta più semplice. Per esempio, per la componente di un vettore di modulo $120$ inclinato di $30^{\circ }$:

$$120\sin (30^{\circ })=60.$$

Puoi ottenere lo stesso risultato in RAD usando $\frac{\pi }{6}$, ma digitare $120\sin (30)$ in RAD cambia il problema. Il fatto che il risultato sia un numero plausibile non basta a renderlo la risposta giusta.

Se il testo usa $\pi$, come $\frac{\pi }{4}$ o $\frac{2\pi }{3}$, sei normalmente nel linguaggio dei radianti. E nelle formule di analisi che trattano $\sin x$ e $\cos x$ come funzioni, il radiante è il riferimento delle formule usuali.

Un esempio chiarisce perché. La formula $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ assume che $x$ sia espresso in radianti. Se definisci invece una funzione che prende in ingresso un valore in gradi,

$$f(x)=\sin \left(\frac{\pi x}{180}\right),$$

la derivata è

$$f^{\prime }(x)=\frac{\pi }{180}\cos \left(\frac{\pi x}{180}\right).$$

Compare un fattore diverso perché hai cambiato la scala dell’input. Non occorre usare questa formula per risolvere un triangolo: serve a capire perché RAD non è una scelta riservata a una calcolatrice più avanzata, ma parte del significato di certe formule.

E il grafico del seno?

Il periodo di $y=\sin x$ in radianti è $2\pi$; se l’asse orizzontale rappresenta valori in gradi, il periodo è $360$. Le curve descrivono la stessa relazione angolare su scale diverse.

Se apri una calcolatrice grafica e vedi il primo ciclo su un intervallo che non ti aspettavi, controlla quindi l’unità e la scala dell’asse. Una finestra con $x$ da $0$ a $10$ contiene più di un periodo in radianti, ma soltanto una piccola parte di un giro in gradi. Una curva apparentemente «quasi piatta» può dipendere da quella scelta.

Per orientarti, cerca i punti che conosci: in RAD il seno vale $1$ a $x=\frac{\pi }{2}$ e torna a $0$ a $x=\pi$; in gradi quei punti corrispondono a $90$ e $180$. Non è necessario affidarsi soltanto alla forma disegnata.

Un controllo prima di premere uguale

Prima di un calcolo trigonometrico, individua come è espresso l’angolo nel testo e confrontalo con l’indicatore DEG o RAD. Se vuoi cambiare unità, converti anche il valore dell’angolo. Per un risultato inatteso, riparti da un valore noto come $\sin (30^{\circ })=\frac{1}{2}$: ti aiuta a distinguere un problema di impostazione da uno nell’espressione.

Puoi aprire CalcES per rifare i tre calcoli dell’articolo. La prima volta che premi sin, o un’altra funzione trigonometrica, CalcES ti chiede quale unità angolare usare: sulla pagina italiana la scheda propone già GRADI, ma non applica nulla finché non premi Conferma. In seguito l’indicatore DEG/RAD sopra la tastiera mostra l’unità attiva e, toccandolo, puoi cambiarla. Il controllo utile non consiste nel ripetere più volte lo stesso input: consiste nel verificare che quel numero significhi davvero l’angolo richiesto.

CalcES è un prodotto indipendente di MathDa: non è affiliato né approvato da Casio. Casio e il nome del modello citato sono marchi dei rispettivi proprietari.