Đạo hàm của hàm hợp tính như thế nào?

Dùng quy tắc chuỗi: nếu y = f(u) và u = u(x) thì y'_x = f'(u) · u'_x. Nói cách khác, lấy đạo hàm hàm ngoài theo u rồi nhân với đạo hàm của hàm trong theo x.

Đạo hàm của căn bậc hai bằng bao nhiêu?

Với x > 0 ta có (√(x))' = 1/(2√(x)). Với hàm hợp thì (√(u))' = (u')/(2√(u)).

Đạo hàm của tan x là gì?

(tan x)' = 1/(cos^2 x) = 1 + tan^2 x, xác định khi cos x ≠ 0. Tương tự (cot x)' = -1/(sin^2 x).

Công thức đạo hàm của thương hai hàm số?

Nếu u và v là hai hàm số (v ≠ 0) thì (u/v)' = (u'v - uv')/(v^2). Chú ý thứ tự tử số là u'v - uv' (không được đổi chỗ).

Bảng công thức đạo hàm đầy đủ (cơ bản đến nâng cao) kèm ví dụ

Đạo hàm là kiến thức trọng tâm của giải tích lớp 11 và xuất hiện xuyên suốt các bài toán khảo sát hàm số, cực trị, tiếp tuyến trong đề thi. Bài viết tổng hợp bảng công thức đạo hàm đầy đủ — từ hàm sơ cấp cơ bản đến lượng giác, mũ, logarit — cùng các quy tắc tính và đạo hàm hàm hợp, kèm ví dụ áp dụng chi tiết.

Đạo hàm là gì?

Đạo hàm của hàm số $y = f (x)$ tại điểm $x_{0}$ là giới hạn (nếu tồn tại):

$f^{'} (x_{0}) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x}$

Về mặt hình học, $f^{'} (x_{0})$ chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm $x_{0}$ . Trong thực hành, ta không tính giới hạn mỗi lần mà áp dụng trực tiếp các công thức trong bảng dưới đây.

Bảng đạo hàm các hàm sơ cấp

Đây là các công thức cơ bản cần thuộc lòng. Cột bên phải là dạng hàm hợp (khi $u = u (x)$ ), dùng khi biểu thức bên trong không chỉ là $x$ .

Hàm số	Đạo hàm theo $x$	Đạo hàm hàm hợp (theo $u$ )
$C$ (hằng số)	$0$	—
$x$	$1$	—
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} \cdot u^{'}$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$(\frac{1}{u})^{'} = - \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$

Lưu ý công thức $x^{n}$ áp dụng cho mọi số mũ thực, kể cả mũ âm hay phân số: chẳng hạn $x = x^{1/2}$ nên $(x)^{'} = \frac{1}{2} x^{- 1/2} = \frac{1}{2 x}$ .

Đạo hàm hàm lượng giác

Hàm số	Đạo hàm theo $x$	Đạo hàm hàm hợp
$sin x$	$cos x$	$(sin u)^{'} = u^{'} cos u$
$cos x$	$- sin x$	$(cos u)^{'} = - u^{'} sin u$
$tan x$	$\frac{1}{cos ^{2} x}$	$(tan u)^{'} = \frac{u ^{'}}{cos ^{2} u}$
$cot x$	$- \frac{1}{sin ^{2} x}$	$(cot u)^{'} = - \frac{u ^{'}}{sin ^{2} u}$

Nhớ dấu: đạo hàm của $cos x$ và $cot x$ đều mang dấu trừ. Ngoài ra có thể viết $(tan x)^{'} = 1 + tan^{2} x$ .

Đạo hàm hàm mũ và logarit

Hàm số	Đạo hàm theo $x$	Đạo hàm hàm hợp
$e^{x}$	$e^{x}$	$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$
$a^{x}$	$a^{x} ln a$	$(a^{u})^{'} = u^{'} a^{u} ln a$
$ln x$	$\frac{1}{x}$	$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$
$lo g_{a} x$	$\frac{1}{x ln a}$	$(lo g_{a} u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u ln a}$

Với hàm mũ và logarit, điều kiện là $a > 0, a \neq = 1$ ; riêng $ln x$ và $lo g_{a} x$ chỉ xác định khi $x > 0$ .

Các quy tắc tính đạo hàm

Từ các công thức cơ bản, ta kết hợp bằng bốn quy tắc sau (với $u = u (x)$ , $v = v (x)$ và $k$ là hằng số):

Quy tắc	Công thức
Tổng – hiệu	$(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$
Nhân hằng số	$(k u)^{'} = k \cdot u^{'}$
Tích	$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
Thương	$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ với $v \neq = 0$

Trong công thức thương, tử số là $u^{'} v - u v^{'}$ — phải đúng thứ tự, đổi chỗ sẽ sai dấu.

Đạo hàm hàm hợp (quy tắc chuỗi)

Nếu $y = f (u)$ với $u = u (x)$ thì:

$y_{x}^{'} = f^{'} (u) \cdot u_{x}^{'}$

Ý tưởng: lấy đạo hàm hàm ngoài theo $u$ rồi nhân với đạo hàm hàm trong theo $x$ . Đây là chìa khóa để xử lý mọi biểu thức phức tạp như $sin (3 x)$ , $(2 x + 1)^{5}$ hay $e^{x^{2}}$ .

Ví dụ tính đạo hàm

Ví dụ 1 — đa thức. Tính đạo hàm của $y = 3 x^{4} - 5 x^{2} + 2 x - 7$ .

Áp dụng quy tắc tổng – hiệu và công thức $x^{n}$ cho từng hạng tử:

$y^{'} = 3 \cdot 4 x^{3} - 5 \cdot 2 x + 2 = 12 x^{3} - 10 x + 2$

Ví dụ 2 — quy tắc thương. Tính đạo hàm của $y = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ .

Đặt $u = 2 x + 1$ ( $u^{'} = 2$ ) và $v = x - 3$ ( $v^{'} = 1$ ):

$y^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} = \frac{2 ( x - 3 ) - ( 2 x + 1 ) \cdot 1}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{2 x - 6 - 2 x - 1}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{- 7}{( x - 3 ) ^{2}}$

Ví dụ 3 — hàm hợp. Tính đạo hàm của $y = (x^{2} + 1)^{5}$ .

Hàm ngoài là $u^{5}$ , hàm trong là $u = x^{2} + 1$ với $u^{'} = 2 x$ :

$y^{'} = 5 u^{4} \cdot u^{'} = 5 (x^{2} + 1)^{4} \cdot 2 x = 10 x (x^{2} + 1)^{4}$

Ví dụ 4 — kết hợp lượng giác và hàm hợp. Tính đạo hàm của $y = sin (3 x)$ .

Với $u = 3 x$ , $u^{'} = 3$ :

$y^{'} = u^{'} cos u = 3 cos (3 x)$

Ví dụ 5 — hàm mũ hợp. Tính đạo hàm của $y = e^{x^{2}}$ .

Với $u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ :

$y^{'} = u^{'} e^{u} = 2 x e^{x^{2}}$

Những sai lầm thường gặp

Quên nhân đạo hàm hàm trong. Viết $(sin 3 x)^{'} = cos 3 x$ là sai; đúng phải là $3 cos 3 x$ vì phải nhân thêm $u^{'} = 3$ .
Nhầm dấu ở $cos x$ và $cot x$ . Cả hai đều có dấu trừ khi lấy đạo hàm.
Đổi thứ tự trong công thức thương. Tử số phải là $u^{'} v - u v^{'}$ , không phải $u v^{'} - u^{'} v$ .
Nhầm đạo hàm tích thành tích các đạo hàm. $(uv)^{'} \neq = u^{'} v^{'}$ ; công thức đúng là $u^{'} v + u v^{'}$ .
Quên $ln a$ với cơ số khác $e$ . $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ chứ không phải $a^{x}$ .

Mẹo ghi nhớ

Với hàm hợp, luôn tự hỏi "hàm trong là gì?" rồi nhân thêm đạo hàm của hàm trong — đây là lỗi bị trừ điểm nhiều nhất.
$e^{x}$ là hàm đặc biệt: đạo hàm của nó bằng chính nó.
Các cặp lượng giác đi kèm dấu: $sin \to cos$ (dương), $cos \to sin$ (âm).

Nắm chắc bảng công thức và bốn quy tắc trên là bạn có thể tính đạo hàm của hầu hết mọi hàm số trong chương trình. Hãy nhập lại các ví dụ ở trên vào máy tính để kiểm tra từng bước lời giải của mình.