Vì sao nguyên hàm luôn có hằng số C?

Vì đạo hàm của một hằng số bằng 0, nên nếu F(x) là một nguyên hàm thì F(x) + C cũng là nguyên hàm với mọi hằng số C. Họ tất cả nguyên hàm được viết là ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Công thức nguyên hàm của hàm hợp (ax+b) là gì?

Nếu ∫ f(x) dx = F(x) + C thì ∫ f(ax+b) dx = 1/aF(ax+b) + C với a ≠ 0. Nhớ nhân thêm hệ số 1/a ở phía trước.

Nguyên hàm của 1/x là gì?

Nguyên hàm của 1/x là ln|x| + C. Lưu ý phải có dấu giá trị tuyệt đối vì 1/x xác định cả khi x < 0.

Bảng nguyên hàm đầy đủ: công thức tích phân cơ bản và ví dụ

Q: Nguyên hàm là gì?

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên khoảng K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Nói cách khác, nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm.

Nguyên hàm (tích phân bất định) là nền tảng của cả chương tích phân trong chương trình Giải tích lớp 12. Bài viết này tổng hợp bảng nguyên hàm đầy đủ — từ công thức cơ bản, hàm lượng giác, hàm mũ và logarit — cùng các tính chất và cách xử lý nguyên hàm hàm hợp dạng $(a x + b)$ , kèm ví dụ minh họa chi tiết.

Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số $f (x)$ xác định trên khoảng $K$ . Hàm số $F (x)$ được gọi là nguyên hàm của $f (x)$ trên $K$ nếu:

$F^{'} (x) = f (x) với mọi x \in K$

Vì đạo hàm của một hằng số bằng $0$ , nếu $F (x)$ là một nguyên hàm thì $F (x) + C$ (với $C$ là hằng số bất kỳ) cũng là nguyên hàm. Do đó họ tất cả các nguyên hàm của $f (x)$ được ký hiệu bằng dấu tích phân bất định:

$\int f (x) d x = F (x) + C$

Đừng bao giờ quên hằng số $C$ — đây là lỗi bị trừ điểm phổ biến nhất khi làm bài.

Bảng nguyên hàm cơ bản

Bảng dưới đây là các công thức phải thuộc lòng. Mỗi công thức đều có thể tự kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm vế phải để ra hàm dưới dấu tích phân.

Hàm số $f (x)$	Nguyên hàm $\int f (x) d x$
$0$	$C$
$k$ (hằng số)	$k x + C$
$x^{α} (α \neq = - 1)$	$\frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$
$\frac{1}{x ^{2}}$	$- \frac{1}{x} + C$
$\frac{1}{x}$	$2 x + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$a^{x} (0 < a \neq = 1)$	$\frac{a ^{x}}{ln a} + C$

Nguyên hàm hàm lượng giác

Hàm số $f (x)$	Nguyên hàm $\int f (x) d x$
$cos x$	$sin x + C$
$sin x$	$- cos x + C$
$\frac{1}{cos ^{2} x}$	$tan x + C$
$\frac{1}{sin ^{2} x}$	$- cot x + C$

Chú ý cặp dấu dễ nhầm: nguyên hàm của $cos x$ là $+ sin x$ , còn nguyên hàm của $sin x$ lại là $- cos x$ .

Các tính chất của nguyên hàm

Nguyên hàm có tính tuyến tính, nghĩa là ta có thể tách tổng và đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân:

$\int k \cdot f (x) d x = k \int f (x) d x (k \neq = 0)$

$\int [f (x) \pm g (x)] d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$

Hai tính chất này cho phép chia một biểu thức phức tạp thành nhiều nguyên hàm cơ bản rồi cộng lại. Ngoài ra, luôn có mối liên hệ ngược với đạo hàm:

$(\int f (x) d x)^{'} = f (x)$

Nguyên hàm của hàm hợp dạng (ax + b)

Đây là mở rộng cực kỳ hay dùng. Nếu $\int f (x) d x = F (x) + C$ thì với $a \neq = 0$ :

$\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$

Điểm mấu chốt: nhân thêm hệ số $\frac{1}{a}$ ở phía trước. Một vài công thức thường gặp:

Hàm số	Nguyên hàm
$(a x + b)^{α} (α \neq = - 1)$	$\frac{1}{a} \cdot \frac{( a x + b ) ^{α + 1}}{α + 1} + C$
$\frac{1}{a x + b}$	$\frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣ + C$
$e^{a x + b}$	$\frac{1}{a} e^{a x + b} + C$
$cos (a x + b)$	$\frac{1}{a} sin (a x + b) + C$
$sin (a x + b)$	$- \frac{1}{a} cos (a x + b) + C$

Ví dụ tính nguyên hàm

Ví dụ 1 — dùng tính tuyến tính. Tính $\int (3 x^{2} - 4 x + 5) d x$ .

Ta tách từng hạng tử:

$\int 3 x^{2} d x - \int 4 x d x + \int 5 d x = 3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} - 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} + 5 x + C$

$= x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C$

Ví dụ 2 — lũy thừa và căn. Tính $\int (x + \frac{1}{x ^{2}}) d x$ .

Viết lại $x = x^{1/2}$ và $\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ rồi áp dụng công thức $x^{α}$ :

$\int x^{1/2} d x + \int x^{- 2} d x = \frac{x ^{3/2}}{3/2} + \frac{x ^{- 1}}{- 1} + C = \frac{2}{3} x x - \frac{1}{x} + C$

Ví dụ 3 — hàm hợp $(a x + b)$ . Tính $\int e^{2 x + 1} d x$ .

Ở đây $a = 2$ nên nhân thêm $\frac{1}{2}$ :

$\int e^{2 x + 1} d x = \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$

Ví dụ 4 — lượng giác hàm hợp. Tính $\int cos (3 x - 2) d x$ .

$\int cos (3 x - 2) d x = \frac{1}{3} sin (3 x - 2) + C$

Những sai lầm thường gặp

Quên hằng số $C$ : mọi nguyên hàm bất định đều phải có $+ C$ , nếu thiếu là mất điểm.
Quên hệ số $\frac{1}{a}$ ở dạng $(a x + b)$ : đây là lỗi phổ biến nhất khi tính $e^{a x + b}$ hay $sin (a x + b)$ .
Nhầm dấu lượng giác: nhớ $\int sin x d x = - cos x + C$ (có dấu trừ), còn $\int cos x d x = sin x + C$ .
Bỏ giá trị tuyệt đối trong $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ : phải giữ dấu $∣ ∣$ vì hàm xác định cả khi $x < 0$ .
Áp dụng sai công thức lũy thừa khi $α = - 1$ : trường hợp $\frac{1}{x}$ không dùng công thức $\frac{x ^{α + 1}}{α + 1}$ mà cho ra $ln ∣ x ∣$ .

Khi đã thuộc bảng nguyên hàm và nhớ nhân hệ số $\frac{1}{a}$ cho dạng hàm hợp, bạn có thể tính hầu hết các nguyên hàm cơ bản trong đề thi. Hãy thử lại các ví dụ trên bằng máy tính để kiểm tra từng bước lời giải của mình.