Phương sai và độ lệch chuẩn khác nhau chỗ nào?

Độ lệch chuẩn S là căn bậc hai của phương sai S². Vì phương sai bình phương các độ lệch nên đơn vị bị bình phương theo; lấy căn để đưa về cùng đơn vị với số liệu ban đầu, nên độ lệch chuẩn dễ diễn giải hơn.

Phương sai càng lớn thì nói lên điều gì?

Phương sai càng lớn thì số liệu càng phân tán, tức càng dao động xa số trung bình. Phương sai nhỏ nghĩa là các giá trị bám sát nhau và bám sát trung bình.

Tính phương sai lấy trung bình rồi hay tính trung bình trước?

Phải tính số trung bình x̄ trước. Sau đó mới tính từng độ lệch so với x̄, bình phương chúng, rồi lấy trung bình các bình phương đó để ra S².

Phương sai có bao giờ âm không?

Không. Phương sai là trung bình của các bình phương nên luôn ≥ 0. Nó chỉ bằng 0 khi mọi số liệu bằng nhau, tức không có độ phân tán.

Phương sai và độ lệch chuẩn: công thức, ý nghĩa, cách tính

Trong phần thống kê lớp 10, chỉ biết số trung bình thôi thì chưa đủ. Hai lớp có điểm trung bình bằng nhau vẫn có thể học lực rất khác nhau: một lớp đều tay, một lớp kẻ giỏi người yếu. Phương sai và độ lệch chuẩn là hai số đo giúp ta phân biệt điều đó — chúng cho biết số liệu bám sát hay dao động xa quanh số trung bình.

Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Ý tưởng rất tự nhiên. Muốn biết dữ liệu phân tán ra sao, ta xét khoảng cách của mỗi giá trị so với số trung bình $\overset{x}{ˉ}$ , tức độ lệch $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ . Nếu cộng thẳng các độ lệch này lại thì luôn bằng 0 (cái dương triệt tiêu cái âm), nên ta bình phương chúng cho hết dấu âm rồi lấy trung bình. Kết quả gọi là phương sai, ký hiệu $S^{2}$ .

Độ lệch chuẩn $S$ là căn bậc hai của phương sai. Vì phương sai bình phương độ lệch nên đơn vị của nó cũng bị bình phương; lấy căn để đưa về đúng đơn vị của số liệu gốc, nhờ vậy $S$ dễ hình dung hơn.

Trục số với số trung bình x ngang và dải độ lệch chuẩn s quanh trung bình Độ lệch chuẩn s cho biết mức độ phân tán của số liệu quanh số trung bình.

Công thức phương sai và độ lệch chuẩn

Với một dãy $n$ số liệu $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ có số trung bình $\overset{x}{ˉ}$ :

$S^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}, S = S^{2}$

Khi số liệu cho dưới dạng bảng tần số, mỗi giá trị $x_{i}$ xuất hiện với tần số $n_{i}$ (tổng $n = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k}$ ), công thức trở thành:

$S^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum k n_{i} (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$

Ví dụ tính chi tiết

Điểm kiểm tra Toán của một nhóm 5 học sinh: $6, 7, 7, 9, 6$ . Ta tính $S^{2}$ và $S$ .

Bước 1 — tính số trung bình.

$\overset{x}{ˉ} = \frac{6 + 7 + 7 + 9 + 6}{5} = \frac{35}{5} = 7$

Bước 2 — tính các độ lệch và bình phương.

$x_{i}$	$x_{i} - \overset{x}{ˉ}$	$(x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$
6	$- 1$	1
7	$0$	0
7	$0$	0
9	$2$	4
6	$- 1$	1

Bước 3 — tính phương sai. Tổng các bình phương là $1 + 0 + 0 + 4 + 1 = 6$ , nên:

$S^{2} = \frac{6}{5} = 1, 2$

Bước 4 — tính độ lệch chuẩn.

$S = 1, 2 \approx 1, 095$

Vậy điểm của nhóm này dao động quanh mức 7 điểm khoảng hơn 1 điểm.

So sánh hai tập cùng trung bình

Xét hai nhóm điểm:

Nhóm A: $7, 7, 7, 7$ — mọi người bằng nhau.
Nhóm B: $4, 7, 7, 10$ — cùng trung bình $\overset{x}{ˉ} = 7$ nhưng trải rộng.

Nhóm A có $S^{2} = 0$ , $S = 0$ : không hề phân tán. Nhóm B có $S^{2} = \frac{( - 3 ) ^{2} + 0 + 0 + 3 ^{2}}{4} = \frac{18}{4} = 4, 5$ , nên $S \approx 2, 12$ . Cùng một số trung bình, nhưng độ lệch chuẩn nói rõ nhóm B chênh lệch mạnh hơn hẳn.

Muốn hiểu rõ hơn cách xác định $\overset{x}{ˉ}$ và các số đặc trưng khác, bạn có thể xem lại bài số trung bình, trung vị và mốt. Định nghĩa hình thức của phương sai cũng được trình bày ở Wikipedia.

Hãy thử nhập lại dãy $6, 7, 7, 9, 6$ vào CalcES để đối chiếu kết quả $S \approx 1, 095$ ở trên, rồi thử với chính bảng điểm của lớp mình xem số liệu phân tán tới đâu.