Số trung bình, trung vị và mốt: phân biệt và cách tính

Số trung bình, trung vị và mốt là ba số đo xu thế trung tâm cơ bản của thống kê lớp 10 — chúng tóm tắt một dãy số liệu bằng một con số "đại diện". Bài viết này trình bày định nghĩa, công thức của từng đại lượng, cách chọn đại lượng phù hợp và một ví dụ tính cả ba trên cùng một dãy số liệu.

Số trung bình cộng

Số trung bình cộng (ký hiệu $\bar{x}$, tiếng Anh là mean) của một dãy $n$ số liệu $x_1,x_2,\dots ,x_n$ được tính bằng công thức:

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Nói cách khác, ta lấy tổng tất cả các giá trị chia cho số giá trị. Đây là đại lượng quen thuộc nhất, thường dùng để tính điểm trung bình môn học hay chiều cao trung bình của lớp.

Nếu số liệu cho dưới dạng bảng tần số, với giá trị $x_i$ có tần số $f_i$, thì:

$$\bar{x}=\frac{x_1{f}_1+x_2{f}_2+\cdots +x_k{f}_k}{f_1+f_2+\cdots +f_k}$$

Trung vị

Trung vị (ký hiệu $M_e$, tiếng Anh là median) là giá trị đứng chính giữa của dãy số liệu khi đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần (hoặc giảm dần). Cách tìm phụ thuộc vào việc số phần tử $n$ là lẻ hay chẵn:

Lưu ý quan trọng: phải sắp xếp dãy số trước khi tìm trung vị. Đây là bước học sinh hay quên nhất.

Ví dụ với dãy đã sắp xếp $2,5,7,9,11$ có $n=5$ (lẻ), số chính giữa ở vị trí thứ $\frac{5+1}{2}=3$, nên $M_e=7$.

Còn dãy $3,6,8,12$ có $n=4$ (chẵn), hai số giữa là $6$ và $8$, nên:

$$M_e=\frac{6+8}{2}=7$$

Mốt

Mốt (ký hiệu $M_o$, tiếng Anh là mode) là giá trị có tần số lớn nhất, tức là xuất hiện nhiều lần nhất trong dãy số liệu.

• Một dãy có thể có nhiều mốt nếu nhiều giá trị cùng có tần số lớn nhất.
• Một dãy không có mốt nếu mọi giá trị đều xuất hiện đúng một lần.

Ví dụ dãy $4,4,5,7,7,7,9$ có $M_o=7$ vì số $7$ xuất hiện ba lần, nhiều hơn mọi giá trị khác. Mốt đặc biệt hữu ích với dữ liệu định tính (màu áo được ưa chuộng nhất, cỡ giày bán chạy nhất…) vì với dữ liệu này ta không tính được trung bình.

Khi nào dùng đại lượng nào?

Điểm khác biệt lớn nhất giữa ba đại lượng là mức độ nhạy cảm với giá trị ngoại lai (giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với phần còn lại).

Vì trung vị chỉ phụ thuộc vị trí giữa nên khi một số liệu bị đẩy lên rất cao, số trung bình tăng vọt còn trung vị gần như không đổi — đó là lý do báo chí thường dùng "thu nhập trung vị" thay cho "thu nhập trung bình".

Ví dụ tính cả ba trên một dãy số liệu

Điểm kiểm tra của một nhóm gồm $8$ học sinh là:

$$7,5,9,7,6,10,7,8$$

Bước 1 — Số trung bình. Cộng tất cả rồi chia cho $8$:

$$\bar{x}=\frac{7+5+9+7+6+10+7+8}{8}=\frac{59}{8}=7,375$$

Bước 2 — Trung vị. Sắp xếp dãy theo thứ tự tăng dần:

$$5,6,7,7,7,8,9,10$$

Vì $n=8$ (chẵn), hai số giữa ở vị trí thứ $4$ và $5$ đều bằng $7$, nên:

$$M_e=\frac{7+7}{2}=7$$

Bước 3 — Mốt. Giá trị $7$ xuất hiện ba lần, nhiều hơn mọi giá trị khác, nên $M_o=7$.

Vậy dãy này có $\bar{x}=7,375$, $M_e=7$ và $M_o=7$. Ba con số khá gần nhau vì dãy không có giá trị ngoại lai. Nếu ta thay điểm $10$ bằng $100$ (một giá trị bất thường), số trung bình sẽ nhảy lên hơn $18$ trong khi trung vị vẫn là $7$ — minh họa rõ vì sao trung vị "ổn định" hơn.

Những sai lầm thường gặp

• Quên sắp xếp dãy số trước khi tìm trung vị: trung vị chỉ đúng khi số liệu đã được sắp thứ tự.
• Nhầm quy tắc lẻ/chẵn: khi $n$ chẵn phải lấy trung bình cộng của hai số giữa, không phải chọn một số.
• Tưởng mốt luôn tồn tại và duy nhất: một dãy có thể không có mốt hoặc có nhiều mốt.
• Dùng số trung bình cho dữ liệu có ngoại lai: kết quả sẽ bị kéo lệch, khi đó trung vị đại diện tốt hơn.

Nắm chắc ba đại lượng này, bạn có thể tóm tắt và so sánh mọi bảng số liệu trong chương thống kê. Hãy thử nhập lại dãy điểm ở ví dụ trên vào máy tính để kiểm tra từng giá trị mà bạn tính được.