Bảng công thức lượng giác đầy đủ lớp 10, 11 (dễ nhớ)

Lượng giác là phần kiến thức trọng tâm của lớp 10 và lớp 11, nhưng lượng công thức rất nhiều khiến học sinh dễ nhầm. Bài viết này tổng hợp đầy đủ các nhóm công thức lượng giác — từ hệ thức cơ bản, cung liên kết, công thức cộng, nhân đôi, hạ bậc đến biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích — kèm mẹo ghi nhớ cho từng nhóm.

Hệ thức lượng giác cơ bản

Đây là nhóm công thức nền tảng, phải thuộc lòng trước khi học các phần sau:

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$$

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\tan x\cdot \cot x=1$$

$$1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}1+{\cot }^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$$

Điều kiện: $\cos x\ne 0$ khi dùng $\tan x$, và $\sin x\ne 0$ khi dùng $\cot x$.

Mẹo ghi nhớ: hai công thức cuối chỉ là hệ quả của ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ — chia hai vế cho ${\cos }^{2}x$ ra công thức của $\tan$, chia cho ${\sin }^{2}x$ ra công thức của $\cot$.

Công thức cung liên kết

Các cung có mối liên hệ đặc biệt cho phép quy về cùng một góc:

Mẹo ghi nhớ: thuộc câu "cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém $\pi$ tan":

• cos đối — hai cung đối nhau thì $\cos$ bằng nhau.
• sin bù — hai cung bù nhau thì $\sin$ bằng nhau.
• phụ chéo — hai cung phụ nhau thì $\sin$ cung này bằng $\cos$ cung kia.
• hơn kém $\pi$ tan — hai cung hơn kém $\pi$ thì $\tan$ (và $\cot$) bằng nhau.

Công thức cộng

$$\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b$$

$$\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$$

$$\tan (a\pm b)=\frac{\tan a\pm \tan b}{1\mp \tan a\tan b}$$

Mẹo ghi nhớ: với $\sin$ là "sin cos, cos sin" và giữ nguyên dấu; với $\cos$ là "cos cos, sin sin" nhưng đổi dấu (nên $\cos (a+b)$ có dấu trừ). Câu vui thường dùng: "Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ."

Công thức nhân đôi

Đặt $b=a$ trong công thức cộng, ta được công thức góc nhân đôi:

$$\sin 2a=2\sin a\cos a$$

$$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a$$

$$\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$$

Ví dụ. Cho $\sin a=\frac{3}{5}$ với $0<a<\frac{\pi }{2}$. Tính $\sin 2a$ và $\cos 2a$.

Vì $a$ ở góc phần tư thứ nhất nên $\cos a>0$:

$$\cos a=\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$$

Do đó:

$$\sin 2a=2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25},\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}$$

Công thức hạ bậc

Suy ra trực tiếp từ công thức $\cos 2a$, dùng để đưa bậc hai về bậc nhất:

$${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}{\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$$

$${\tan }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}$$

Nhóm này cực kỳ hữu ích khi tính tích phân và giải phương trình lượng giác, vì biến đổi ${\sin }^2$, ${\cos }^2$ thành hàm bậc nhất theo $\cos 2a$.

Biến đổi tích thành tổng

$$\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$$

$$\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$$

$$\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)]$$

Biến đổi tổng thành tích

$$\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$$

$$\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$$

$$\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$$

$$\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$$

Mẹo ghi nhớ: trong mọi công thức tổng thành tích đều xuất hiện nửa tổng $\frac{a+b}{2}$ và nửa hiệu $\frac{a-b}{2}$. Chỉ cần nhớ "tổng chia đôi, hiệu chia đôi" rồi ghép với hệ số $2$ ở đầu.

Những sai lầm thường gặp

• Nhầm dấu của $\cos (a+b)$: công thức cộng của $\cos$ đổi dấu so với vế trong ngoặc, nên $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ (dấu trừ).
• Quên điều kiện xác định: dùng $\tan$ phải có $\cos x\ne 0$, dùng $\cot$ phải có $\sin x\ne 0$.
• Lẫn cung phụ và cung bù: phụ là bằng $\frac{\pi }{2}$ (đổi $\sin \leftrightarrow \cos$), còn bù là bằng $\pi$ (giữ $\sin$, đổi dấu $\cos$).
• Ghi thiếu ba dạng của $\cos 2a$: cả ba dạng đều đúng, hãy chọn dạng tiện nhất theo dữ kiện đề cho.

Nắm chắc bảy nhóm công thức trên là bạn đã có gần như toàn bộ "vũ khí" để giải phương trình và rút gọn biểu thức lượng giác lớp 10, 11. Hãy thử nhập lại các ví dụ ở trên vào máy tính để kiểm tra từng bước biến đổi của mình.