Đường tròn lượng giác: sin, cos, tan và các góc đặc biệt

Lượng giác lớp 10 bắt đầu từ một hình duy nhất: đường tròn lượng giác. Hiểu nó rồi thì các công thức sin, cos, tan không còn phải học vẹt, và bảng giá trị các góc đặc biệt trở thành thứ bạn tự dựng lại được trong lúc thi. Đây cũng là nền tảng cho phương trình lượng giác, đạo hàm và tích phân về sau.

Đường tròn lượng giác là gì

Ta lấy đường tròn tâm $O$, bán kính bằng $1$ đặt trong hệ trục $Oxy$. Đó là đường tròn đơn vị. Chọn chiều dương là ngược chiều kim đồng hồ, điểm gốc là $A(1;0)$.

Với một góc $\alpha$, quay tia từ $A$ một góc $\alpha$ ta được điểm $P$ trên đường tròn. Khi đó toạ độ của $P$ chính là:

$$P=(\cos \alpha ;\sin \alpha )$$

Vì bán kính bằng $1$ nên hình chiếu của $P$ xuống trục hoành đúng bằng $\cos \alpha$, còn hình chiếu xuống trục tung đúng bằng $\sin \alpha$. Cách nhớ gọn: cos đi ngang (trục $Ox$), sin đi dọc (trục $Oy$).

Trên đường tròn đơn vị, hoành độ của điểm là cos θ và tung độ là sin θ.

Còn $\tan \alpha$? Kẻ trục tang là đường thẳng đứng tiếp xúc đường tròn tại $A(1;0)$. Kéo dài đường thẳng $OP$ cắt trục tang tại điểm $T$, thì tung độ của $T$ chính là $\tan \alpha$. Về công thức:

$$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(\cos \alpha \ne 0)$$

Dấu của sin, cos, tan theo bốn phần tư

Hai trục toạ độ chia đường tròn thành bốn góc phần tư. Vì $\cos \alpha$ là hoành độ, $\sin \alpha$ là tung độ, nên dấu của chúng phụ thuộc điểm $P$ nằm ở phần tư nào.

Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt

Đây là bảng phải thuộc. Chú ý cột $\sin$ tăng dần $0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1$, còn $\cos$ thì đọc ngược lại.

Ký hiệu $\Vert$ ở $\tan 90^{\circ }$ nghĩa là không xác định, vì $\cos 90^{\circ }=0$ nên mẫu bằng $0$.

Cần đổi qua lại độ và radian thì nhớ $180^{\circ }=\pi$, suy ra $1^{\circ }=\frac{\pi }{180}$. Ví dụ $60^{\circ }=60\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{3}$.

Cung liên kết: đối, bù, phụ

Không cần thuộc giá trị mọi góc, chỉ cần đưa về góc đặc biệt qua các cung liên kết:

• Hai góc đối $(\alpha$ và $-\alpha )$: $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$, $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$.
• Hai góc bù $(\alpha$ và $180^{\circ }-\alpha )$: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$, $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$.
• Hai góc phụ $(\alpha$ và $90^{\circ }-\alpha )$: $\sin (90^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$, $\cos (90^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1. Xác định dấu của $\cos 210^{\circ }$ và tính giá trị.

Góc $210^{\circ }$ nằm ở phần tư III nên $\cos 210^{\circ }<0$. Ta viết $210^{\circ }=180^{\circ }+30^{\circ }$, dùng cung liên kết được $\cos (180^{\circ }+30^{\circ })=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ví dụ 2. Tính $\sin 120^{\circ }+\tan 45^{\circ }$.

Vì $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }$ (hai góc bù) nên $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Mà $\tan 45^{\circ }=1$. Vậy tổng bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}+1=\frac{\sqrt{3}+2}{2}$.

Muốn xem thêm các hằng đẳng thức và công thức biến đổi, đọc bài công thức lượng giác; còn nếu bạn đang học tam giác vuông thì hệ thức lượng trong tam giác vuông là bước đệm tự nhiên trước khi lên đường tròn lượng giác.

Thử ngay hai ví dụ trên bằng CalcES: gõ $\cos 210^{\circ }$ và $\sin 120^{\circ }+\tan 45^{\circ }$ để so với đáp án bạn vừa tính tay.