Hệ thức lượng trong tam giác vuông: công thức và ví dụ

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là kiến thức nền tảng của chương trình Hình học lớp 9 và xuất hiện thường xuyên trong đề thi vào lớp 10. Bài viết tổng hợp đầy đủ định lý Pytago, các hệ thức về cạnh và đường cao, cùng tỉ số lượng giác của góc nhọn, kèm một ví dụ tính cạnh và đường cao chi tiết.

Quy ước ký hiệu

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ hạ từ đỉnh $A$ xuống cạnh huyền $BC$. Ta đặt tên các đoạn thẳng như sau:

• $a=BC$ là cạnh huyền;
• $b=AC$ và $c=AB$ là hai cạnh góc vuông;
• $h=AH$ là đường cao ứng với cạnh huyền;
• $b^{\prime }=CH$ là hình chiếu của cạnh $b$ trên cạnh huyền, $c^{\prime }=BH$ là hình chiếu của cạnh $c$ trên cạnh huyền.

Vì $H$ nằm giữa $B$ và $C$ nên luôn có $b^{\prime }+c^{\prime }=a$.

Định lý Pytago

Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông:

$$a^2=b^2+c^2$$

Đây là hệ thức quan trọng nhất, dùng để tính một cạnh khi biết hai cạnh còn lại. Ví dụ, tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $3$ và $4$ thì cạnh huyền là $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.

Hệ thức về cạnh góc vuông và hình chiếu

Mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hình chiếu của nó trên cạnh huyền:

$$b^2=a\cdot b^{\prime }{c}^2=a\cdot c^{\prime }$$

Ngoài ra, cộng hai hệ thức này lại ta thu về đúng định lý Pytago:

$$b^2+c^2=a\cdot b^{\prime }+a\cdot c^{\prime }=a(b^{\prime }+c^{\prime })=a\cdot a=a^2$$

Hệ thức về đường cao

Đường cao $h$ liên hệ với các đoạn còn lại qua ba hệ thức thường dùng:

Từ hệ thức $a\cdot h=b\cdot c$ ta suy ra ngay công thức tính đường cao khi biết ba cạnh:

$$h=\frac{b\cdot c}{a}$$

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Với một góc nhọn $\alpha$ trong tam giác vuông, ta định nghĩa bốn tỉ số lượng giác dựa trên cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền:

$$\sin \alpha =\frac{\text{đoˆˊi}}{\text{huyeˆˋn}}\cos \alpha =\frac{\text{keˆˋ}}{\text{huyeˆˋn}}$$

$$\tan \alpha =\frac{\text{đoˆˊi}}{\text{keˆˋ}}\cot \alpha =\frac{\text{keˆˋ}}{\text{đoˆˊi}}$$

Một số tính chất và giá trị đặc biệt cần nhớ:

• $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$, nên $\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$.
• ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ (đúng với mọi góc $\alpha$).
• Nếu hai góc nhọn phụ nhau ($\alpha +\beta =90^{\circ }$) thì $\sin \alpha =\cos \beta$ và $\tan \alpha =\cot \beta$.

Ví dụ giải chi tiết

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có hai cạnh góc vuông $AB=6$ cm và $AC=8$ cm. Tính cạnh huyền $BC$, đường cao $AH$ và các hình chiếu $BH$, $CH$.

Bước 1 — Tính cạnh huyền bằng định lý Pytago.

$$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{ (cm)}$$

Bước 2 — Tính đường cao. Dùng hệ thức $AB\cdot AC=BC\cdot AH$:

$$AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\cdot 8}{10}=\frac{48}{10}=4,8\text{ (cm)}$$

Bước 3 — Tính các hình chiếu. Với $c=AB$, hình chiếu của nó là $c^{\prime }=BH$, dùng $A{B}^2=BC\cdot BH$:

$$BH=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{6^2}{10}=\frac{36}{10}=3,6\text{ (cm)}$$

$$CH=BC-BH=10-3,6=6,4\text{ (cm)}$$

Kiểm tra lại bằng hệ thức đường cao $A{H}^2=BH\cdot CH$:

$$BH\cdot CH=3,6\cdot 6,4=23,04=4,8^2=A{H}^2✓$$

Kết quả khớp, chứng tỏ lời giải chính xác.

Những sai lầm thường gặp

• Nhầm cạnh huyền với cạnh góc vuông: cạnh huyền luôn là cạnh đối diện góc vuông và là cạnh dài nhất; đừng lấy nhầm khi áp dụng Pytago.
• Áp dụng Pytago cho tam giác thường: định lý Pytago chỉ đúng với tam giác vuông. Tam giác thường phải dùng định lý cosin.
• Lẫn lộn đối và kề: cạnh đối và cạnh kề được xét theo từng góc — đổi góc thì đối, kề cũng đổi theo.
• Quên $b^{\prime }+c^{\prime }=a$: nhiều bạn tính riêng từng hình chiếu mà quên rằng tổng của chúng phải bằng cạnh huyền, dẫn tới bỏ lỡ bước kiểm tra.

Nắm chắc định lý Pytago cùng bốn nhóm hệ thức về cạnh và đường cao, bạn có thể tính mọi yếu tố còn lại của một tam giác vuông chỉ từ vài dữ kiện ban đầu. Hãy nhập lại các số liệu trong ví dụ vào máy tính để tự kiểm tra từng bước lời giải.