Định lý Pytago: công thức, định lý đảo và ứng dụng

Định lý Pytago là công cụ hình học được dùng nhiều nhất ở lớp 9 và gần như năm nào cũng xuất hiện trong đề thi vào 10. Chỉ với một hệ thức, bạn tính được cạnh còn thiếu của tam giác vuông, đo đường chéo hình chữ nhật hay khoảng cách giữa hai điểm. Nắm chắc cả định lý thuận lẫn định lý đảo là bạn xử lý gọn được rất nhiều dạng bài.

Phát biểu định lý Pytago

Cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $a$, $b$ và cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông, dài nhất) là $c$. Khi đó:

$$a^2+b^2=c^2$$

Nói bằng lời: bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Từ hệ thức gốc, chuyển vế ta có ngay hai công thức tính cạnh:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Ví dụ 1: Tính cạnh huyền (tam giác 3-4-5)

Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $a=3$ cm và $b=4$ cm. Tính cạnh huyền $c$.

Áp dụng định lý Pytago:

$$c^2=a^2+b^2=3^2+4^2=9+16=25$$

Suy ra $c=\sqrt{25}=5$ cm.

Đây chính là bộ ba nổi tiếng $3$–$4$–$5$. Khi thấy hai cạnh góc vuông là $3$ và $4$, bạn đọc luôn cạnh huyền bằng $5$ mà không cần tính lại.

Ví dụ 2: Tính cạnh góc vuông còn thiếu

Tam giác vuông có cạnh huyền $c=13$ cm và một cạnh góc vuông $a=5$ cm. Tính cạnh góc vuông còn lại $b$.

Chuyển vế công thức:

$$b^2=c^2-a^2=13^2-5^2=169-25=144$$

Vậy $b=\sqrt{144}=12$ cm. Ta gặp lại bộ ba $5$–$12$–$13$.

Định lý Pytago đảo: nhận biết tam giác vuông

Chiều ngược lại cũng đúng và rất hay được hỏi. Nếu một tam giác có ba cạnh $a$, $b$, $c$ (với $c$ là cạnh lớn nhất) thỏa mãn:

$$a^2+b^2=c^2$$

thì tam giác đó vuông tại đỉnh đối diện cạnh $c$.

Cách làm gọn: lấy cạnh lớn nhất bình phương, so với tổng bình phương hai cạnh kia. Ví dụ tam giác có ba cạnh $6$, $8$, $10$: ta có $6^2+8^2=36+64=100=10^2$, nên đây là tam giác vuông.

Ứng dụng thường gặp

Định lý Pytago không chỉ dừng ở tam giác. Một số dạng quen thuộc:

• Đường chéo hình chữ nhật. Hình chữ nhật cạnh $a$, $b$ có đường chéo $d=\sqrt{a^2+b^2}$, vì đường chéo chia hình thành hai tam giác vuông.
• Khoảng cách giữa hai điểm. Trên mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa $A(x_1;y_1)$ và $B(x_2;y_2)$ là $AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$ — chính là Pytago áp cho tam giác vuông có hai cạnh song song với trục.
• Đường cao, trung tuyến trong nhiều bài dựng hình cũng quy về một tam giác vuông để tính.

Muốn hiểu sâu hơn quan hệ giữa các cạnh và đường cao trong tam giác vuông, xem thêm bài hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bạn có thể thử lại cả hai ví dụ ở trên bằng CalcES: gõ $\sqrt{3^2+4^2}$ để ra cạnh huyền $5$, hay $\sqrt{13^2-5^2}$ để ra cạnh góc vuông $12$. Chỉ vài giây là có kết quả để đối chiếu với lời giải tay của mình.