7 hằng đẳng thức đáng nhớ: công thức, ví dụ và cách nhớ nhanh

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là nền tảng của toàn bộ đại số lớp 8 và theo bạn suốt những năm sau: từ khai triển, rút gọn biểu thức đến phân tích đa thức thành nhân tử và giải phương trình. Bài viết này tổng hợp đầy đủ công thức, ví dụ khai triển, ví dụ phân tích nhân tử và mẹo ghi nhớ nhanh.

Bảng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Học thuộc bảng này là bước đầu tiên, nhưng quan trọng hơn là hiểu vì sao mỗi công thức đúng. Chúng ta sẽ đi qua từng nhóm.

Nhóm bình phương (bậc hai)

Bình phương của một tổng và của một hiệu

Hai công thức đầu tiên chỉ khác nhau ở dấu của số hạng giữa:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$$

Cả hai đều đọc là: "bình phương số thứ nhất, cộng (hoặc trừ) hai lần tích hai số, cộng bình phương số thứ hai".

Ví dụ khai triển. Tính $(x+3{)}^2$ và $(2x-5{)}^2$.

$$(x+3{)}^2=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=x^2+6x+9$$

$$(2x-5{)}^2=(2x{)}^2-2\cdot 2x\cdot 5+5^2=4x^2-20x+25$$

Hiệu hai bình phương

Đây là công thức được dùng nhiều nhất để phân tích thành nhân tử:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Ví dụ phân tích nhân tử. Phân tích $9x^2-16$.

Ta viết $9x^2=(3x{)}^2$ và $16=4^2$, nên:

$$9x^2-16=(3x{)}^2-4^2=(3x-4)(3x+4)$$

Công thức này cũng giúp tính nhẩm: $101\cdot 99=(100+1)(100-1)=100^2-1^2=9999$.

Nhóm lập phương (bậc ba)

Lập phương của một tổng và của một hiệu

$$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

$$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$$

Điểm khác biệt: với $(a-b{)}^3$, dấu đan xen cộng – trừ theo thứ tự $+,-,+,-$. Các hệ số $1,3,3,1$ thì luôn giống nhau.

Ví dụ khai triển. Tính $(x+2{)}^3$.

$$(x+2{)}^3=x^3+3\cdot x^2\cdot 2+3\cdot x\cdot 2^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8$$

Tổng và hiệu hai lập phương

Hai công thức cuối viết một tổng (hoặc hiệu) lập phương thành tích:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Mẹo nhớ dấu: thừa số bậc nhất giữ đúng dấu của vế trái ($a+b$ hoặc $a-b$), còn số hạng $ab$ ở thừa số bậc hai mang dấu ngược lại. Phần $a^2$ và $b^2$ luôn cộng.

Ví dụ phân tích nhân tử. Phân tích $x^3+8$ và $27x^3-1$.

$$x^3+8=x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4)$$

$$27x^3-1=(3x{)}^3-1^3=(3x-1)(9x^2+3x+1)$$

Mẹo ghi nhớ nhanh

• Hệ số lập phương là $1,3,3,1$ — chính là dòng thứ tư của tam giác Pascal, rất dễ nhớ.
• Dấu trong $(a-b{)}^n$: cứ mũ lẻ của $b$ (tức số hạng có $b$ hoặc $b^3$) thì mang dấu trừ.
• Tổng/hiệu hai lập phương: câu thần chú "bình phương thiếu của tổng/hiệu" — thiếu vì thiếu hệ số $2$ so với $(a\pm b{)}^2$; và $ab$ ở giữa mang dấu ngược với dấu ở thừa số đầu.
• Ba công thức số 3, 6, 7 luôn cho ra dạng tích, nên dùng để phân tích nhân tử; các công thức còn lại dùng để khai triển.

Những sai lầm thường gặp

• Quên số hạng giữa $2ab$: viết nhầm $(a+b{)}^2=a^2+b^2$ là sai. Luôn nhớ có $2ab$.
• Lẫn lộn $(a-b{)}^3$ với $a^3-b^3$: một cái có bốn số hạng, một cái là tích hai thừa số — hoàn toàn khác nhau.
• Sai dấu $ab$ ở tổng/hiệu hai lập phương: với $a^3+b^3$ phần bình phương là $a^2-ab+b^2$ (dấu trừ), còn $a^3-b^3$ thì là $a^2+ab+b^2$ (dấu cộng) — nhớ là dấu ngược.
• Ghi nhầm hệ số $a{b}^2$ và $a^{2}b$: trong lập phương, số hạng gần $a^3$ chứa $a^{2}b$, số hạng gần $b^3$ chứa $a{b}^2$.

Nắm vững bảy hằng đẳng thức này, bạn sẽ khai triển và phân tích đa thức nhanh hơn rất nhiều mà ít khi sai dấu. Hãy thử nhập lại các ví dụ khai triển và phân tích ở trên vào máy tính để tự kiểm tra từng bước lời giải của mình.