Định lý Vi-ét: công thức tổng và tích nghiệm, ứng dụng nhẩm nghiệm

Định lý Vi-ét là công cụ quen thuộc giúp học sinh lớp 9 xử lý nhanh các bài toán về phương trình bậc hai. Bài viết trình bày định lý Vi-ét thuận (công thức tổng và tích nghiệm), định lý Vi-ét đảo (tìm hai số biết tổng và tích), cùng các mẹo nhẩm nghiệm và xét dấu nghiệm thường gặp trong đề thi.

Định lý Vi-ét thuận

Cho phương trình bậc hai một ẩn $a{x}^2+bx+c=0$ với $a\ne 0$. Nếu phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ (tức là $\Delta =b^2-4ac\ge 0$) thì:

$$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}P=x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Điều đặc biệt là ta biết được tổng và tích hai nghiệm mà không cần giải phương trình. Lưu ý điều kiện $\Delta \ge 0$: nếu $\Delta <0$ thì phương trình vô nghiệm thực nên không có tổng, tích nghiệm thực để áp dụng.

Ví dụ với $x^2-5x+6=0$ (ở đây $a=1$, $b=-5$, $c=6$):

$$S=-\frac{-5}{1}=5P=\frac{6}{1}=6$$

Vậy hai nghiệm có tổng bằng $5$ và tích bằng $6$.

Nhẩm nghiệm bằng định lý Vi-ét

Sau khi biết $S$ và $P$, ta chỉ cần tìm hai số có tổng $S$ và tích $P$. Với ví dụ trên, hai số có tổng $5$ và tích $6$ là $2$ và $3$. Vậy phương trình có nghiệm $x_1=2$, $x_2=3$ mà không cần dùng công thức $\Delta$.

Hai trường hợp nhẩm nghiệm siêu nhanh

Có hai trường hợp đặc biệt cho phép đọc ngay nghiệm chỉ bằng cách cộng các hệ số:

Ví dụ $2x^2-5x+3=0$ có $a+b+c=2-5+3=0$, nên ngay lập tức $x_1=1$ và $x_2=\frac{3}{2}$.

Còn $3x^2+8x+5=0$ có $a-b+c=3-8+5=0$, nên $x_1=-1$ và $x_2=-\frac{5}{3}$.

Xét dấu hai nghiệm

Định lý Vi-ét giúp biết dấu của hai nghiệm mà không cần tính cụ thể. Trước hết luôn phải có $\Delta \ge 0$ để phương trình có nghiệm, sau đó xét $S$ và $P$:

Chú ý: khi $P<0$ thì luôn có $\Delta >0$ (vì tích hai nghiệm âm bắt buộc hai nghiệm phải phân biệt), nên không cần kiểm tra $\Delta$ riêng. Ngược lại, khi $P>0$ thì phải kiểm tra $\Delta \ge 0$ trước rồi mới xét dấu qua $S$.

Định lý Vi-ét đảo: tìm hai số biết tổng và tích

Đây là chiều ngược lại và rất hay dùng: nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì chúng là nghiệm của phương trình:

$$X^2-SX+P=0$$

Phương trình này có nghiệm (tức là tồn tại hai số như vậy) khi và chỉ khi $S^2-4P\ge 0$.

Ví dụ. Tìm hai số có tổng bằng $10$ và tích bằng $21$.

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình:

$$X^2-10X+21=0$$

Tính biệt thức: $\Delta =(-10{)}^2-4\cdot 21=100-84=16>0$. Vậy:

$$X_{1,2}=\frac{10\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{10\pm 4}{2}\Rightarrow X_1=7,X_2=3$$

Hai số cần tìm là $7$ và $3$ (thử lại: $7+3=10$ và $7\cdot 3=21$, đúng).

Ví dụ ứng dụng: tính biểu thức đối xứng của nghiệm

Một dạng bài rất phổ biến là tính giá trị biểu thức chứa hai nghiệm mà không giải phương trình.

Ví dụ. Cho $x^2-7x+5=0$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$. Tính $x_1^2+x_2^2$.

Theo định lý Vi-ét: $S=x_1+x_2=7$ và $P=x_1{x}_2=5$. Ta biến đổi biểu thức về $S$ và $P$:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=S^2-2P$$

Thay số vào:

$$x_1^2+x_2^2=7^2-2\cdot 5=49-10=39$$

Vậy $x_1^2+x_2^2=39$. Cách làm này nhanh và gọn hơn hẳn việc đi tìm từng nghiệm rồi bình phương.

Những sai lầm thường gặp

• Quên kiểm tra $\Delta \ge 0$: chỉ được dùng Vi-ét khi phương trình có nghiệm thực. Nhiều bài "bẫy" cho phương trình vô nghiệm.
• Nhầm dấu của $S$: công thức là $S=-\frac{b}{a}$, nhớ dấu trừ. Ví dụ $b=-5$ thì $S=5$ chứ không phải $-5$.
• Quên chia cho $a$: khi $a\ne 1$, phải lấy $S=-\frac{b}{a}$ và $P=\frac{c}{a}$, đừng chỉ lấy $-b$ và $c$.
• Nhầm điều kiện Vi-ét đảo: hai số có tổng $S$ và tích $P$ chỉ tồn tại khi $S^2-4P\ge 0$.

Nắm chắc hai công thức $S=-\frac{b}{a}$ và $P=\frac{c}{a}$ cùng định lý đảo, bạn sẽ nhẩm nghiệm và giải các bài biểu thức đối xứng nhanh hơn rất nhiều. Hãy thử nhập lại các ví dụ ở trên vào máy tính để kiểm tra từng bước lời giải của mình.