Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0

Phương trình bậc nhất một ẩn là dạng cơ bản nhất trong đại số, nhưng nó xuất hiện trong hầu hết các bài toán lớn hơn: giải hệ, giải bất phương trình, tìm giao điểm đồ thị. Giải thành thạo và biết biện luận số nghiệm ở đây sẽ giúp bạn xử lý nhanh những câu quen thuộc trong đề kiểm tra và đề thi.

Phương trình bậc nhất một ẩn là gì

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng tổng quát:

$$ax+b=0(a\ne 0)$$

trong đó $x$ là ẩn, còn $a$ và $b$ là các hệ số đã cho. Điều kiện $a\ne 0$ rất quan trọng: nếu $a=0$ thì vế trái không còn hạng tử bậc nhất của $x$, ta phải xét riêng (xem phần biện luận bên dưới).

Chẳng hạn $2x-6=0$ hay $-3x+5=0$ đều là phương trình bậc nhất một ẩn. Còn $x^2+1=0$ thì không, vì ẩn có bậc 2.

Hai quy tắc để giải

Để đưa phương trình về nghiệm, ta dùng hai quy tắc biến đổi tương đương.

Quy tắc chuyển vế: chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia thì đổi dấu hạng tử đó.

Quy tắc nhân (chia): nhân hoặc chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.

Áp dụng vào dạng tổng quát:

$$ax+b=0\iff ax=-b\iff x=\frac{-b}{a}$$

Bước đầu chuyển $b$ sang vế phải và đổi dấu, bước sau chia hai vế cho $a$.

Ví dụ 1

Giải phương trình $2x-6=0$.

Chuyển vế: $2x=6$. Chia hai vế cho 2: $x=3$.

Vậy tập nghiệm là $S=\{3\}$.

Biện luận số nghiệm theo a và b

Đây là phần hay bị bỏ sót nhưng lại thường ra trong câu biện luận theo tham số. Xét phương trình $ax+b=0$:

Nghiệm của phương trình ax + b = 0 là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục hoành.

Nhìn theo đồ thị sẽ rõ: nghiệm của $ax+b=0$ chính là hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=ax+b$ với trục hoành. Khi $a\ne 0$ đường thẳng xiên nên cắt trục hoành đúng một điểm. Khi $a=0$ đường thẳng nằm ngang: nếu $b\ne 0$ nó không chạm trục hoành nên vô nghiệm, còn nếu $b=0$ nó trùng luôn trục hoành nên vô số nghiệm.

Phương trình đưa được về bậc nhất

Nhiều phương trình ban đầu chưa ở dạng $ax+b=0$, nhưng sau khi bỏ ngoặc, quy đồng và chuyển vế thì thu gọn về được.

Ví dụ 2

Giải phương trình:

$$\frac{2x-1}{3}-\frac{x+2}{2}=1$$

Mẫu chung là 6. Nhân hai vế với 6 để khử mẫu:

$$2(2x-1)-3(x+2)=6$$

Bỏ ngoặc: $4x-2-3x-6=6$.

Thu gọn vế trái: $x-8=6$.

Chuyển vế: $x=14$.

Vậy $S=\{14\}$. Với phương trình có ẩn ở mẫu, nhớ đặt điều kiện xác định trước khi khử mẫu và đối chiếu nghiệm với điều kiện đó.

Một chút biện luận theo tham số m

Xét $(m-1)x=m^2-1$. Hệ số của $x$ là $m-1$.

Nếu $m\ne 1$: chia hai vế cho $m-1$, được $x=\frac{m^2-1}{m-1}=m+1$.

Nếu $m=1$: phương trình thành $0\cdot x=0$, đúng với mọi $x$ nên có vô số nghiệm.

Đó là toàn bộ tinh thần của biện luận: tách trường hợp theo hệ số của ẩn.

Sau khi đã quen dạng bậc nhất, bạn có thể xem tiếp giải phương trình bậc hai hoặc giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, vì cả hai đều dùng lại kỹ thuật chuyển vế và quy đồng ở đây.

Thử gõ lại hai ví dụ trên vào CalcES để so từng bước với lời giải của bạn, đó là cách nhanh nhất để phát hiện chỗ mình hay nhầm dấu.