Cách giải phương trình bậc hai một ẩn (Δ và định lý Vi-ét)

Phương trình bậc hai là một trong những dạng toán quan trọng nhất của chương trình lớp 9 và luôn xuất hiện trong đề thi vào lớp 10. Bài viết này trình bày đầy đủ cách giải: từ công thức biệt thức Δ, công thức nghiệm thu gọn, đến định lý Vi-ét và các mẹo nhẩm nghiệm nhanh.

Phương trình bậc hai là gì?

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

$$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$$

trong đó $a$, $b$, $c$ là các số đã biết (hệ số), còn $x$ là ẩn số. Điều kiện $a\ne 0$ là bắt buộc — nếu $a=0$ thì phương trình trở thành bậc nhất.

Ví dụ: $2x^2-7x+3=0$ là phương trình bậc hai với $a=2$, $b=-7$, $c=3$.

Công thức nghiệm tổng quát

Để giải phương trình bậc hai, trước hết ta tính biệt thức (còn gọi là delta):

$$\Delta =b^2-4ac$$

Dấu của $\Delta$ quyết định số nghiệm của phương trình:

Khi $\Delta \ge 0$, hai nghiệm được tính bằng công thức:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$$

Công thức nghiệm thu gọn

Nếu hệ số $b$ là số chẵn, ta đặt $b=2b^{\prime }$ và dùng biệt thức thu gọn:

$${\Delta }^{\prime }=b^{\prime 2}-ac$$

Khi đó nghiệm của phương trình là:

$$x_{1,2}=\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a}$$

Cách này làm cho các con số nhỏ hơn, giúp tính nhanh và hạn chế sai sót.

Ví dụ giải chi tiết

Ví dụ 1 — Δ > 0. Giải phương trình $x^2-5x+6=0$.

Ta có $a=1$, $b=-5$, $c=6$ nên:

$$\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0$$

Vì $\Delta >0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2}\Rightarrow x_1=3,x_2=2$$

Ví dụ 2 — dùng công thức thu gọn. Giải $x^2-4x+3=0$.

Ở đây $b=-4$ là số chẵn nên đặt $b^{\prime }=-2$. Ta có:

$${\Delta }^{\prime }=(-2{)}^2-1\cdot 3=4-3=1$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{1}}{1}\Rightarrow x_1=3,x_2=1$$

Ví dụ 3 — Δ < 0. Giải $x^2+x+1=0$.

$$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0$$

Vì $\Delta <0$, phương trình vô nghiệm trên tập số thực.

Định lý Vi-ét

Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thì:

$$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}P=x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Định lý Vi-ét cực kỳ hữu ích vì cho ta biết tổng và tích hai nghiệm mà không cần giải phương trình. Nó thường được dùng để:

• Nhẩm nhanh hai nghiệm khi chúng là số đẹp.
• Kiểm tra lại kết quả sau khi giải.
• Xét dấu của các nghiệm ($P<0$ thì hai nghiệm trái dấu; $P>0$ và $S>0$ thì hai nghiệm cùng dương…).

Chẳng hạn với $x^2-5x+6=0$: ta cần hai số có tổng $S=5$ và tích $P=6$. Đó là $2$ và $3$ — đúng bằng nghiệm tìm được ở Ví dụ 1.

Nhẩm nghiệm nhanh với trường hợp đặc biệt

Có hai trường hợp cho phép nhẩm nghiệm ngay lập tức:

• Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình có nghiệm $x_1=1$ và $x_2=\frac{c}{a}$.
• Nếu $a-b+c=0$ thì phương trình có nghiệm $x_1=-1$ và $x_2=-\frac{c}{a}$.

Ví dụ $2x^2-5x+3=0$ có $a+b+c=2-5+3=0$, nên ngay lập tức $x_1=1$ và $x_2=\frac{3}{2}$.

Những sai lầm thường gặp

• Quên điều kiện $a\ne 0$: luôn kiểm tra hệ số $a$ trước khi áp dụng công thức bậc hai.
• Nhầm dấu khi tính $\Delta$: chú ý $-4ac$ đổi dấu khi $c$ âm.
• Kết luận vội khi $\Delta <0$: trên tập số thực là vô nghiệm, nhưng trên tập số phức phương trình vẫn có hai nghiệm.
• Quên $\pm$: khi $\Delta >0$ phải lấy cả hai dấu $+$ và $-$ để có đủ hai nghiệm.

Nắm vững biệt thức $\Delta$ và định lý Vi-ét, bạn có thể giải nhanh gần như mọi phương trình bậc hai trong đề thi. Hãy thử lại các ví dụ ở trên bằng máy tính để kiểm tra từng bước lời giải.