Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: thế và cộng đại số

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn gần như chắc chắn có mặt trong đề thi vào 10, ở câu giải hệ trực tiếp hoặc câu giải bài toán bằng cách lập hệ. Nắm chắc hai phương pháp thế và cộng đại số là bạn xử lý gọn dạng này. Dưới đây là cách trình bày từng bước, và cùng một hệ được giải bằng cả hai cách để bạn so sánh.

Dạng tổng quát của hệ

Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:

$$\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$$

trong đó $a,b$ không đồng thời bằng $0$ và $a^{\prime },b^{\prime }$ cũng vậy. Nghiệm của hệ là cặp số $(x;y)$ thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình. Ta lấy chung một hệ làm ví dụ:

$$\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ 3x-2y=4\end{array}$$

Phương pháp thế

Ý tưởng: rút một ẩn từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lại, đưa về phương trình một ẩn.

Bước 1. Từ phương trình đầu, rút $y$ theo $x$ (hệ số của $y$ bằng $1$ nên rất tiện): $$y=5-2x$$

Bước 2. Thế biểu thức này vào phương trình thứ hai: $$3x-2(5-2x)=4$$

Bước 3. Giải phương trình một ẩn: $$3x-10+4x=4⟹7x=14⟹x=2$$

Bước 4. Thay $x=2$ ngược lại vào $y=5-2x$: $$y=5-2\cdot 2=1$$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;1)$.

Phương pháp cộng đại số

Ý tưởng: nhân hai vế của mỗi phương trình cho một số thích hợp để hệ số của một ẩn đối nhau, rồi cộng hai phương trình để khử ẩn đó.

Bước 1. Ta muốn khử $y$. Hệ số của $y$ đang là $1$ và $-2$. Nhân cả hai vế phương trình đầu cho $2$:

$$\{\begin{array}{l}4x+2y=10\\ 3x-2y=4\end{array}$$

Bước 2. Cộng vế theo vế hai phương trình: $$(4x+3x)+(2y-2y)=10+4⟹7x=14⟹x=2$$

Bước 3. Thay $x=2$ vào phương trình $2x+y=5$: $$4+y=5⟹y=1$$

Kết quả trùng khớp: $(x;y)=(2;1)$. Hai phương pháp khác nhau ở cách trình bày nhưng luôn cho cùng một nghiệm.

Số nghiệm và ý nghĩa hình học

Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn là một đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ. Số nghiệm của hệ chính là số giao điểm của hai đường thẳng đó.

Nghiệm của hệ là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình.

Khi khử ẩn mà thu được đẳng thức vô lý như $0=3$, hệ vô nghiệm. Nếu thu được đẳng thức luôn đúng như $0=0$, hệ có vô số nghiệm. Còn lại, ta tìm được đúng một nghiệm như ví dụ trên.

Nếu bạn đã vững cách giải một phương trình một ẩn ở bài phương trình bậc nhất một ẩn thì bước cuối của cả hai phương pháp trên chỉ là dùng lại kỹ năng đó. Muốn đọc thêm phần lý thuyết, bạn có thể xem hệ phương trình tuyến tính trên Wikipedia↗.

Thử tự giải lại hệ $\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ 3x-2y=4\end{array}$ bằng cả hai phương pháp, rồi nhập vào CalcES để đối chiếu nghiệm $(2;1)$. Làm quen tay với vài hệ là bạn sẽ giải dạng này rất nhanh trong phòng thi.